Doctrina
Título:Validación alternativa del modelo continuo aleatorio de modelación de un índice de pérdidas por catástrofes con tasa de declaración de siniestros constante desencadenante de los Cat Bonds. Estudio para el caso de inundaciones en España
Autor:Pérez-Fructuoso, María José
País:
España
Publicación:Revista Ibero-Latinoamericana de Seguros - Volumen 30 - Número 55
Fecha:15-12-2021 Cita:IJ-MMCCXLII-997
DOI:10.11144/Javeriana.ris55.vamc
Índice
Sumarios

A partir del modelo continuo de determinación de un índice de pérdidas por catástrofes para los Cat Bonds, desarrollado por Pérez-Fructuoso (2008 y 2009) y utilizando datos asociados a un conjunto de inundaciones ocurridas en España, se estima el parámetro fundamental del modelo propuesto, tasa instantánea de declaración de siniestros, aplicando una metodología alternativa de Mínimos Cuadrados con Restricciones y se comparan los resultados con los obtenidos utilizando la metodología tradicional de máxima verosimilitud. Adicionalmente, se obtiene la volatilidad que incorpora el proceso de Wiener en el modelo para la estimación realizada de la tasa de declaración y se verifica la bondad del ajuste mediante el cálculo de los correspondientes intervalos de confianza.


Palabras Claves:


Tasa instantánea de declaración de siniestros, estimación por Mínimos Cuadrados con Restricciones, test Ji-cuadrado, Raíz del Error Cuadrático Medio, Intervalos de Confianza.


Following the continuous modelling of loss index triggers for CAT Bonds developed by Pérez-Fructuoso (2008 and 2009), this paper estimates the instantaneous loss reporting rate (the proposed model’s fundamental parameter) by applying a Restricted Minimum Squares’ alternative methodology to a dataset of several floods occurred in Spain. Results are compared with those stemming from the traditional methodology of maximum-likelihood, the Wiener-Process-induced model’s volatility is obtained, and the goodness-of-fit is verified through the calculation of the corresponding confidence intervals.


Keywords:


Instantaneous claim reporting rate, Constrained least-squared Estimation, Chi-square test, Root Mean Squared Error, Confidence Intervals


1. Introducción
2. Principales características del modelo de declaración de siniestros con tasa de declaración de siniestros constante
3. Validación del modelo propuesto
4. Conclusiones
Referencias bibliográficas
Notas

Validación alternativa del modelo continuo aleatorio de modelación de un índice de pérdidas por catástrofes con tasa de declaración de siniestros constante desencadenante de los Cat Bonds

Estudio para el caso de inundaciones en España*

María José Pérez-Fructuoso**

1. Introducción [arriba] 

Una de las principales formas de titulización del riesgo catastrófico son los Cat Bonds o bonos sobre catástrofes. El desencadenante de estos instrumentos puede definirse como una ratio de siniestralidad en la que se relacionan la cuantía total de las pérdidas debidas a catástrofes ocurridas durante un determinado periodo de tiempo con un valor constante, habitualmente definido como el volumen estimado de las primas destinadas a cubrir las pérdidas catastróficas consideradas. La naturaleza de esta ratio es aleatoria porque la cuantía total de las pérdidas en las que se incurre es un valor desconocido a lo largo de toda la vida del contrato: a priori ignoramos el número de catástrofes que van a producirse, su magnitud y los momentos de su ocurrencia; tampoco se conoce el ritmo de declaración de los siniestros asociados.

Partiendo del análisis empírico de la evolución de las declaraciones de siniestros después de suceder una catástrofe, Pérez-Fructuoso (2008, 2009) propone un modelo matemático para calcular la componente aleatoria de la ratio de siniestralidad subyacente de esta clase de activos derivados. La característica distintiva del modelo es la consideración de una nueva variable, denominada cuantía de siniestros pendiente de declarar, frente a los enfoques precedente tales como Cummins et al. (1995), Geman, et al. (1998) o Nowak et al. (2013), entre otros, que solo consideran en su sistematización la cuantía de siniestros ya declarada. De esta forma, cuando se produce una catástrofe, su volumen total es la suma de estas dos cuantías, la cuantía declarada de siniestros y la cuantía de siniestros pendiente de declarar. Sin embargo, en la modelización propuesta por Pérez-Fructuoso (2008, 2009) se representa la siniestralidad instantánea mediante una ecuación diferencial cierta que describe un crecimiento de la siniestralidad declarada proporcional a la cuantía de siniestros pendiente de declarar en cada momento. La evolución de esta última cuantía también viene dada por una ecuación diferencial ordinaria que simboliza una tendencia decreciente de los importes de siniestros pendientes de declarar proporcional a una tasa, de declaración de siniestros constante, denominada tasa instantánea de declaración de siniestros. Para ajustar a la realidad el modelo de evolución de las declaraciones de siniestros se incorpora la aleatoriedad perturbando esta tasa instantánea de declaración de siniestros con un ruido blanco, o diferencial del proceso de Wiener de forma que la ecuación diferencial asociada a la cuantía de siniestros pendiente de declarar se vuelve estocástica, la tasa de declaración de siniestros se convierte en un proceso estocástico con trayectorias continuas, y la cuantía de siniestros pendiente de declarar se representa a través de una tendencia constante perturbada en cada momento por la variancia que incorpora el proceso de Wiener. La cuantía declarada de siniestros resulta de la diferencia entre el volumen total de la catástrofe y la cuantía de siniestros pendiente de declarar.

En cuanto a la validación de estos modelos, la tasa de declaración de siniestros y la volatilidad del proceso de Wiener se estiman aplicando el método de Máxima Verosimilitud. Posteriormente y sobre la base de dichas estimaciones se verifica la bondad del ajuste calculando los intervalos de predicción del 90 por ciento y el 99 por ciento para el IBNR por medio de una distribución normal de dos colas, asumiendo el total de la catástrofe incurrida pérdida es igual a 100.

En este trabajo se realiza una validación alternativa del modelo continuo desarrollado. Se propone la estimación de la tasa de declaración de siniestros constante aplicando una metodología de Mínimos Cuadrados con Restricciones lo que da lugar a valores diferentes de la tasa de declaración de siniestros. También, se determina la volatilidad que incorpora el proceso de Wiener dentro del modelo continuo aleatorio, y ello respecto a cada una de las estimaciones realizadas sobre la tasa de declaración de siniestros. Por último, se verifica la bondad de los ajustes realizados a través del estudio de la Raíz del Error Cuadrático Medio, el contraste de la Ji-Cuadrado de Pearson y el cálculo de los correspondientes intervalos de confianza.

La estructura del artículo es la siguiente. La sección 2 realiza un resumen de las principales características del modelo continuo de declaración de siniestros sobre el que se va a realizar la estimación de los parámetros. En la sección 3 propone una metodología de estimación de los parámetros del modelo por Mínimos Cuadrados con Restricciones y se comparan los resultados obtenidos con los resultantes de aplicar el método tradicional de estimación por Máxima Verosimilitud. Finalmente, la sección 4 resume los principales resultados obtenidos y concluye.

2. Principales características del modelo de declaración de siniestros con tasa de declaración de siniestros constante [arriba] 

El modelo propuesto por Pérez-Fructuoso (2008, 2009) calcula el índice de pérdidas desencadenante de los bonos sobre catástrofes definido como el cociente entre el total de pérdidas asociadas a una catástrofe ocurrida a lo largo de un determinado periodo de riesgo, S(t), y una constante, p, cuyo valor depende del tipo de índice utilizado. El valor de este índice al vencimiento, T, viene dado por la siguiente expresión:

L(T)= S(T) / p

De forma resumida, dicho modelo supone que la cuantía de la catástrofe ocurrida en el momento t= 0 . K, es una variable aleatoria que puede definirse como la suma de dos variables, ambas referidas al momento de valoración t,

K= S(t) + R(t) (1)

donde S(t) denota la cuantía declarada de siniestros (Reported Claims, RC) y R(t) la cuantía de siniestros pendiente de declarar (Incurred But Not Reported Claims, IBNRC).

A partir de la evidencia empírica se considera que, inmediatamente después de que se produce la catástrofe, la intensidad de la declaración de siniestros es elevada y decrece con el paso del tiempo hasta anularse cuando no quedan más siniestros por declarar. Este hecho se representa mediante la ecuación diferencial,

dS(t) = αR(t)dt (2)

en la que α es una constante denominada tasa instantánea de declaración de siniestros.

Diferenciando la ecuación (1) se obtiene:

dS(t) = -dR(t) (3)

Y substituyendo este resultado en la ecuación (2) se deriva la nueva ecuación diferencial que describe la evolución de la variable R(t):

dR(t) = -αR(t)dt (4)

Para capturar el comportamiento irregular del proceso de declaración de siniestros, se introduce un proceso de Wiener en la ecuación (4). La irregularidad en el proceso de declaración de siniestros depende de la cuantía de siniestros pendiente de declarar. Mientras dicha cuantía es elevada, la irregularidad en las declaraciones también lo es y decrece a medida que los hace la IBNRC. Para reflejar este comportamiento, se introduce en el modelo determinista un proceso de Wiener con intensidad δR(t), lo cual se conoce con el nombre de movimiento Browniano geométrico. El resultado es la siguiente ecuación diferencial estocástica,

dR(t) = -αR(t)dt + δR(t)dWt (5)

con las siguientes condiciones de contorno:

• Si t=0, entonces R(0) = K, en el momento en que ocurre la catástrofe, toda su cuantía está pendiente de declarar, y por tanto no hay nada declarado todavía.

• Si t→ ∞, entonces R(t) = 0, transcurrido un tiempo lo suficientemente grande todos los daños han sido declarados y por tanto ya no quedan siniestros pendientes de declarar.

La ecuación central de este modelo es la ecuación (5). Dicha ecuación intenta reproducir el proceso de declaración de siniestros de una catástrofe donde α representa la tendencia del proceso, δ es el valor constante que representa la volatilidad del proceso y Wt es un proceso de Wiener estándar asociado a la catástrofe.

Una condición necesaria del modelo radica en el hecho de que δ debe ser un valor bajo. De lo contrario, si δ es li suficientemente grande podría producirse la circunstancia de que la tasa de declaración de siniestros fuera positiva dando lugar a un crecimiento de la cantidad de siniestros pendiente de declarar.

La solución de la ecuación (5) necesita aplicar el lema de Itô para su cálculo (Arnold, 1974), resultando,

y teniendo en cuenta la condición de contorno inicial R(0) = K, la solución de la ecuación diferencial estocástica resulta:

(6)

La variable R(t) sigue una distribución log-normal, por tanto, la variable ln(t) seguirá una distribución normal de parámetros (Johnson, et al., 1994):

(7)

3. Validación del modelo propuesto [arriba] 

En la aplicación práctica del modelo teórico desarrollado por Pérez-Fructuoso (2008, 2009) para determinar un índice de pérdidas por catástrofes, los principales parámetros a estimar son la tasa de declaración de siniestros y la volatilidad incorporada por el proceso de Wiener. Para ello, se dispone de seis series temporales de datos (Tablas 1, 2, 3, 4, 5 y 6 a continuación) sobre el porcentaje declarado de siniestros y el porcentaje de la cuantía de los siniestros pendiente de declarar (PDR en tablas), ambos acumulados semanalmente, en 6 inundaciones ocurridas en distintas regiones de España entre 1991 y 2000, Alcira (01/10/1991), San Sebastián (23/06/1992), Barcelona (14/09/1999), Zaragoza (20/10/2000), Valencia (20/10/2000) y Murcia (20/10/2000)[1].

Tabla 1: Serie de datos Alcira 01/10/1991

Periodo

% Declarado Real

% Pendiente Declarar Real

Semana

 

(PDR)

0

0

100

1

15.06

84.94

2

46.35

53.65

3

65.04

34.96

4

75.95

24.05

5

81.14

18.86

6

86.64

13.36

7

89.47

10.53

8

91.96

8.04

9

93.06

6.94

10

94.77

5.23

11

95.92

4.08

12

96.29

3.71

13

96.44

3.56

14

97.4

2.6

15

98.25

1.75

16

98.7

1.3

17

99.23

0.77

18

99.71

0.29

19

100

0.0

 

Tabla 2: Serie de datos San Sebastián 23/06/1992

Periodo

% Declarado Real

% Pendiente Declarar Real

Semana

 

(PDR)

0

0

100

1

11.92

88.08

2

63.96

36.04

3

76.33

23.67

4

83.32

16.68

5

87.71

12.29

6

90.06

9.94

7

91.28

8.72

8

92.24

7.76

9

93.2

6.8

10

94.22

5.78

11

94.82

5.18

12

95.67

4.33

13

96.55

3.45

14

97.31

2.69

15

98.19

1.81

16

98.41

1.59

17

98.61

1.39

18

98.84

1.16

19

99.04

0.96

20

99.24

0.76

21

99.55

0.45

22

99.72

0.28

23

99.8

0.2

24

99.83

0.17

25

99.89

0.11

26

99.94

0.06

27

100

0.0

 

Tabla 3: Serie de datos Barcelona (14/09/1999)

Periodo

% Declarado Real

% Pendiente Declarar Real

Semana

 

(PDR)

0

0

100

1

9.319899244

90.68010076

2

31.62354019

68.37645981

3

49.32447905

50.67552095

4

58.57568125

41.42431875

5

68.42225784

31.57774216

6

74.57064346

25.42935654

7

80.4442409

19.5557591

8

83.31806732

16.68193268

9

86.7185711

13.2814289

10

89.45500343

10.54499657

11

91.84795054

8.152049462

12

93.19899244

6.801007557

13

93.8745134

6.125486604

14

96.58804671

3.411953286

15

96.58804671

3.411953286

16

97.38951225

2.610487749

17

98.19097779

1.809022212

18

98.74055416

1.259445844

19

99.43897412

0.561025876

20

100

0.0

 

Tabla 4: Serie de datos Zaragoza (20/10/2000)

Periodo

% Declarado Real

% Pendiente Declarar Real

Semana

 

(PDR)

0

0

100

1

14.05082212

85.94917788

2

38.26606876

61.73393124

3

65.02242152

34.97757848

4

75.93423019

24.06576981

5

85.94917788

14.05082212

6

87.59342302

12.40657698

7

91.47982063

8.520179372

8

94.76831091

5.231689088

9

94.76831091

5.231689088

10

94.91778774

5.082212257

11

96.56203288

3.437967115

12

96.41255605

3.587443946

13

97.75784753

2.242152466

14

98.80418535

1.195814649

15

99.40209268

0.597907324

16

99.40209268

0.597907324

17

99.40209268

0.597907324

18

99.55156951

0.448430493

19

99.55156951

0.448430493

20

99.55156951

0.448430493

21

99.55156951

0.448430493

22

100

0.0

 

Tabla 5: Serie de datos Valencia (20/10/2000)

Periodo

% Declarado Real

% Pendiente Declarar Real

Semana

 

(PDR)

0

0

100

1

2.459480902

97.5405191

2

19.82318939

80.17681061

3

39.85039102

60.14960898

4

56.84007707

43.15992293

5

68.03808228

31.96191772

6

72.44701349

27.55298651

7

80.46016094

19.53983906

8

84.71041596

15.28958404

9

85.24311459

14.75688541

10

85.29978465

14.70021535

11

88.93800295

11.06199705

12

91.54482602

8.455173977

13

93.01824776

6.981752238

14

93.78896067

6.211039329

15

94.8316899

5.168310099

16

95.78374702

4.216252975

17

96.49778987

3.502210133

18

97.27983679

2.72016321

19

97.74453134

2.255468661

20

98.11855378

1.88144622

21

98.31123201

1.688767993

22

98.3905701

1.609429899

23

99.10461294

0.895387057

24

99.45596736

0.544032642

25

99.63731157

0.362688428

26

99.80732177

0.192678227

27

100

0.0

 

Tabla 6: Serie de datos Murcia (20/10/2000)

Periodo

% Declarado Real

% Pendiente Declarar Real

Semana

 

(PDR)

0

0

100

1

11.54294598

88.45705402

2

24.44617178

75.55382822

3

51.30198212

48.69801788

4

68.86902449

31.13097551

5

78.58530898

21.41469102

6

84.22075398

15.77924602

7

88.72910999

11.27089001

8

91.29420909

8.705790906

9

91.76059075

8.23940925

10

93.43179168

6.568208317

11

94.63661096

5.36338904

12

95.99689079

4.003109211

13

96.618733

3.381267003

14

97.39603576

2.603964244

15

97.20171007

2.798289934

16

97.70695686

2.29304314

17

97.745822

2.254178002

18

97.86241741

2.137582588

19

98.32879907

1.671200933

20

98.71745045

1.282549553

21

98.91177614

1.088223863

22

99.06723669

0.932763311

23

99.33929265

0.660707346

24

99.37815779

0.621842208

25

99.33929265

0.660707346

26

99.84453945

0.155460552

27

100

0.0

3.1. Estimación de los parámetros del modelo

En este trabajo, la estimación de la tasa de declaración de siniestros se ha realizado aplicando una metodología de Mínimos Cuadrados con Restricciones sobre el modelo determinista resultante de calcular la esperanza matemática del modelo aleatorio con tasa de declaración de siniestros constante (Pérez-Fructuoso et al., 2003). Los valores obtenidos aplicando dicha metodología se comparan con los resultantes de utilizar el método tradicional de Máxima Verosimilitud (Pérez-Fructuoso, 2008, 2009) a través de la Raíz Cuadrada del Error Cuadrático Medio. A partir de los datos disponibles, también se desarrolla una metodología de Mínimos Cuadros para estimar la volatilidad del proceso de Wiener y se verifica la bondad del ajuste determinando los correspondientes intervalos de predicción.

3.1.1. Estimación de la tasa de declaración de siniestros por Mínimos Cuadrados con Restricciones (MCR)

Utilizando una metodología de Mínimos Cuadrados con Restricciones (MCR), la tasa de declaración de siniestros estimada es el mínimo valor de â tal que verifica el siguiente problema de optimización (Van den Boos, 2007),

(8)

donde PDRt es la cuantía de siniestros pendiente de declarar real semanal y e^(-â.(t)) es la cuantía de siniestros pendiente declarar esperada cada semana.

Utilizando este procedimiento, la cuantía de siniestros pendiente de declarar estimada semanal, PDEt, se obtiene como sigue:

PDEt = e^(-â.t) (9)

Los valores de la tasa de declaración de siniestros derivados de aplicar esta metodología de estimación, y los obtenidos utilizando la metodología tradicional de Máxima Verosimilitud (MV), se presentan en la siguiente tabla resumen (Tabla 7):

Tabla 7: Estimación MCR y MV de la tasa de declaración de siniestros

Serie

Tasa Estimada MCR, α

Tasa Estimada MV, α

Alcira

0.288209

0.3035086722

San Sebastián

0.2742304

0.2677497687

Barcelona

0.2309302

0.2573436251

Zaragoza

0.3024744

0.2080287412

Valencia

0.1729236

0.2281115136

Murcia

0.230796

0.2132287838

Los Gráficos 1, 2, 3, 4, 5 y 6 a continuación muestran de forma visual la bondad de los ajustes sobre declaraciones pendientes reales y estimadas utilizando la tasa estimada por MCR en las series de datos utilizadas:

Gráfico 1: Alcira

Gráfico 2: San Sebastián

Gráfico 3: Barcelona

Gráfico 4: Zaragoza

Gráfico 8: Valencia

Gráfico 9: Murcia

A continuación, se calcula la Raíz Cuadrada del Error Cuadrático Medio (RECM)[2] existente entre los valores reales y los estimados y se comparan dichos valores con los obtenidos en los ajustes realizados mediante la estimación de la tasa de declaración de siniestros obtenida por el método de Máxima Verosimilitud. Los resultados de los diferentes valores del RECM se muestran en la Tabla 8 siguiente:

Tabla 8: RECM para tasa de declaración de siniestros MCR y MV

Serie

RECM tasa estimada MCR

RECM tasa estimada MV

Alcira

3,776992346

3.2541320138

San Sebastián

7,743016531

7.9264064062564

Barcelona 1

2,877476674

4.3877716557

Zaragoza

4,07856948

8.0230716144

Valencia

5,477043637

5.2483780645

Murcia

4,996582842

5.8600227682

Media

4,824946918

5,7832970622

Resulta evidente que la media de la raíz de los errores es menor cuando el ajuste se realiza con la tasa de declaración de siniestros estimada por MCR. En los casos de Barcelona 1, Zaragoza y Murcia además la raíz del error cuando la tasa es la estimada por MCR es significativamente menor que cuando la tasa se estima por MV.

Para verificar la bondad del ajuste realizado por MCR utilizamos la prueba X^2 de Pearson que permite averiguar si la distribución empírica de los datos se ajusta a una determinada distribución teórica.

En el caso del test de bondad de ajuste ji-cuadrado las hipótesis nula, H0, y alternativa, H1,son:

• H0: Los datos originales y los estimados proceden de la misma distribución.

• H1: Los datos originales y los estimados tienen distribuciones distintas.

Para calcular el estadístico de prueba del contraste calculamos,

 (10)

donde Oi es el valor observado i-ésimo, Ei es el valor esperado i-ésimo y k son el número de observaciones o clases analizadas.

Entonces, si el valor del estadístico de prueba es mayor que el valor crítico de la distribución ji-cuadrado con k - 1 grados de libertad para un nivel de significación del α% se rechaza la hipótesis nula. En caso contrario, no se rechaza. Si medimos la validez del contraste a través del p-valor, si el p-valor es menor que el nivel de significación establecido en dicho contraste se rechaza la hipótesis nula, mientras que si es mayor se acepta.

Los resultados del contraste para la serie de datos analizada y para un nivel de significación del 5% son los siguientes (Tabla 9):

Tabla 9: Contraste Ji-Cuadrado de bondad de ajuste

 

Estadístico de prueba

Valor crítico en tablas

p-valor

Alcira

9.409182281

28.8693

0.949497086

San Sebastián

44.64977764

38.8851

0.012855904

Barcelona

4.161848638

30.1435

0.999855733

Zaragoza

12.84142821

33.9245

0.914076486

Valencia

30.56367149

38.8851

0.244919958

Murcia

25.81808575

38.8851

0.473138634

Como se observa en los resultados obtenidos, en todas las series consideradas, menos en la serie de San Sebastián, no podemos rechazar la hipótesis de que los datos originales y los estimados proceden de la misma distribución. En este caso, podemos afirmar que la cuantía de siniestros pendiente de declarar R(t) sigue una distribución log-normal y su logaritmo neperiano, lnR(t), sigue una distribución normal. En el caso de la inundación de San Sebastián el contraste permite aceptar la hipótesis nula para un nivel de significación del 1%.

3.1.2. Estimación de la volatilidad del modelo aleatorio

El modelo original dado por la ecuación (6), la variable aleatoria cuantía de los siniestros pendiente de declarar se distribuye log-normalmente y su esperanza matemática coincide con la cuantía de siniestros pendiente de declarar de un modelo exponencial determinista:

E(R(t)) = Ke^(-αt) (11)

Entonces, ln R(t) es el proceso gaussiano,

(12)

Sin embargo, es posible obtener una expresión mejor para estimar los parámetros α y δ realizando el siguiente cálculo:

(13)

Esto significa que R(t) / R(t-1) sigue una distribución log-normal siendo los parámetros de la distribución normal asociada,

(14)

o bien:

(15)

A partir de los resultados obtenidos, si simbolizamos como x̄ y Sx^2 respectivamente, a la media y variancia muestral de la distribución normal asociada al logaritmo de las variaciones semanales de la cuantía de siniestros pendiente de declarar, y llamamos δ^2 al estimador de la variancia muestral, el valor de este estimador será el que resulte de minimizar la siguiente suma de errores al cuadrado,

(16)

de donde se obtiene:

(17)

Aplicando el estimador resultante a las series de datos disponibles y para los valores de la tasa de declaración de siniestros estimada por MCR, los valores estimados para la volatilidad del proceso estocástico (desviación estimada) definido para la cuantía de siniestros pendiente de declarar, se muestran en la siguiente tabla resumen:

Tabla 10: Estimación de la volatilidad para α MCR

Serie

Variancia Estimada

Desviación estimada

Alcira

0.046453703

0.215531212

San Sebastián

0.031486417

0.177444124

Barcelona

0.040721656

0.201796075

Zaragoza

0.028540072

0.168938072

Valencia

0.046575574

0.215813749

Murcia

0.067622054

0.260042409

3.1.3. Intervalos de confianza para la cuantía de siniestros pendiente de declarar

A continuación, precisamos la bondad del ajuste realizado para la tasa instantánea de declaración de siniestros y la volatilidad del proceso de Wiener, calculando los intervalos de predicción del 90% y del 99% y, por tanto, para un nivel de significación del 10% y del 1%, en una normal con 2 colas, para la distribución normal que sigue el logaritmo de las variaciones de la cuantía de siniestros pendiente de declarar.

Los intervalos de predicción para las series de datos disponibles se muestran en las Tablas 11, 12, 13, 14, 15 y 16 y los Gráficos 10, 11, 12, 13, 14 y 15 siguientes:

Tabla 11: Intervalos de predicción Serie de datos Alcira

Intervalo Inferior 90%

Intervalo Superior 90%

Intervalo Inferior 99%

Intervalo Superior 99%

51.37835824

104.4022921

42.0375271

127.6007115

32.49009631

88.55834949

24.46313422

117.6165441

21.25985731

72.59562077

15.01841614

102.7653332

14.15959076

58.46693446

9.479044822

87.33663363

9.537831501

46.55878469

6.08964302

72.92214696

6.476424573

36.77953427

3.961678921

60.12599312

4.424488251

28.87810875

2.601981323

49.10521522

3.037263772

22.56521834

1.721887244

39.80314064

2.093203424

17.56308769

1.146521623

32.06491231

1.447343117

13.62482906

0.767363152

25.6981359

1.003581361

10.5399908

0.515859872

20.50506133

0.697575886

8.133764901

0.348112034

16.29911553

0.48591276

6.263470367

0.235699969

12.91260323

0.339115677

4.814106788

0.160062054

10.19941358

0.237068257

3.693860046

0.108985765

8.034966415

0.165982548

2.82996896

0.074385824

6.314717425

0.11637337

2.16511389

0.050880756

4.952001831

0.081694823

1.65436022

0.034872078

3.875669903

0.05741693

1.262626495

0.02394375

3.027768738

Tabla 12: Intervalos de predicción Serie de datos San Sebastián

Intervalo Inferior 90%

Intervalo Superior 90%

Intervalo Inferior 99%

Intervalo Superior 99%

55.88673019

100.18978

47.3767122

118.1863187

37.05699036

84.60462468

29.33655512

106.8698335

25.27248782

69.46217465

18.98384242

92.47242596

17.48837774

56.20551999

12.56787815

78.21076506

12.21496518

45.05763431

8.442445384

65.191708

8.588266561

35.88287462

5.730201016

53.78025856

6.068676382

28.43353705

3.919925143

44.01970152

4.305311079

22.44152956

2.698251813

35.80754227

3.064237857

17.65495606

1.866771353

28.9799737

2.186848251

13.85168449

1.297014671

23.35481062

1.564300106

10.84259629

0.904425646

18.75342059

1.121223944

8.470189423

0.632651602

15.01138882

0.805060724

6.6052456

0.443764702

11.98298057

0.578951589

5.142892942

0.31203377

9.542191672

0.416928689

3.998711557

0.219886875

7.58197854

0.300626698

3.105177536

0.155257439

6.012589635

0.217014656

2.408557628

0.10982011

4.759531804

0.156820624

1.866272483

0.077807254

3.761474669

0.113431232

1.444700105

0.055208857

2.96825768

0.082119271

1.117370989

0.039228088

2.339081415

0.059499333

0.86350032

0.027908776

1.840915333

0.043142831

0.666803832

0.019879272

1.447125689

0.031304911

0.514548567

0.014175598

1.136311664

0.022730227

0.39679592

0.01011888

0.891329981

0.016514474

0.305800615

0.007230125

0.69848529

0.012005475

0.235535226

0.005170784

0.546863343

0.00873239

0.181315212

0.003701191

0.427785311

Tabla 13: Intervalos de predicción Serie de datos Barcelona

Intervalo Inferior 90%

Intervalo Superior 90%

Intervalo Inferior 99%

Intervalo Superior 99%

55.81006239

108.3974032

46.25115813

130.8003104

37.83275752

96.73748136

29.00564045

126.1770338

26.47990598

83.61375363

19.12487448

115.7698754

18.8432757

71.08355562

12.94126142

103.5020461

13.55164901

59.79498859

8.903311963

91.01340054

9.819568652

49.92245197

6.19781769

79.09508942

7.155934782

41.44320472

4.35311158

68.12710051

5.238401313

34.2493493

3.079127634

58.26709954

3.848856182

28.20010949

2.190594511

49.54735584

2.83664204

23.1477791

1.566010355

41.92945669

2.096141507

18.95067366

1.124132556

35.33684121

1.552483657

15.4792388

0.80982531

29.67462852

1.152132191

12.61844132

0.58522889

24.84175455

0.856540445

10.26813418

0.424098208

20.7382914

0.63779706

8.342347641

0.308096102

17.26969201

0.475596172

6.768054265

0.224325563

14.34905884

0.355105972

5.483724065

0.163664398

11.89814762

0.265455855

4.437850282

0.119628786

9.847574142

0.198654773

3.587544838

0.087590477

8.136534112

0.14881312

2.897253571

0.064233282

6.712242134

Tabla 14: Intervalos de predicción Serie de datos Zaragoza

Intervalo Inferior 90%

Intervalo Superior 90%

Intervalo Inferior 99%

Intervalo Superior 99%

56.77450939

98.97271415

48.51193457

115.829792

37.93150719

83.24106747

30.36704482

103.9765037

26.03020592

68.15990978

19.82303859

89.50275101

18.11238539

55.04271286

13.22409797

75.38925001

12.71514026

44.05783945

8.945136823

62.62638785

8.982549696

35.04399363

6.110654527

51.5140257

6.376010338

27.74170052

4.205634325

42.05819042

4.542949818

21.87827225

2.911674355

34.1356487

3.246884058

17.20097447

2.025593956

27.5719473

2.326576721

13.48873815

1.414876871

22.18043478

1.670802208

10.55437528

0.991707643

17.78172593

1.20215874

8.242607587

0.697183441

14.21279131

0.866414996

6.426423654

0.491416252

11.33041448

0.625367011

5.002985168

0.347185695

9.011609421

0.451981698

3.889665049

0.245797528

7.152461724

0.32705951

3.020474281

0.174344237

5.666231664

0.236921624

2.342966574

0.123873045

4.481196437

0.171796187

1.815624958

0.088149695

3.538497159

0.124686027

1.405693857

0.062817997

2.790130077

0.090570478

1.087403541

0.044824797

2.197146815

0.065840499

0.840529889

0.032024416

1.728084839

0.04789755

0.649234886

0.022905269

1.357624731

Tabla 15: Intervalos de predicción Serie de datos Valencia

Intervalo Inferior 90%

Intervalo Superior 90%

Intervalo Inferior 99%

Intervalo Superior 99%

57.62616999

117.2069052

47.13703427

143.2882901

40.88352054

111.5828945

30.77142046

148.2512504

30.01475742

102.6559263

21.19338911

145.3846155

22.42913199

92.78533754

15.00712374

138.6737804

16.95138227

82.92006912

10.81661602

129.9491252

12.91484093

73.5103798

7.8950104

120.2499824

9.899620268

64.77272174

5.817774545

110.2183221

7.62504625

56.79906086

4.319574792

100.2634488

5.896280448

49.6110547

3.227049502

90.64648424

4.574533311

43.18995505

2.423339977

81.52957901

3.55908271

37.49422838

1.827837942

73.00705216

2.775802353

32.47034599

1.38394773

65.12620444

2.169542622

28.05951913

1.051372929

57.90174067

1.698914922

24.20191516

0.801094879

51.32599879

1.332637456

20.83926053

0.612019367

45.37630772

1.046927847

17.91639062

0.468691142

40.02031739

0.823615362

15.38210567

0.359710026

35.21986492

0.648757792

13.18956876

0.276617952

30.9337679

0.511618112

11.29640431

0.213107767

27.11982352

0.403901075

9.664604451

0.164455196

23.73621647

0.319179767

8.260316616

0.127107521

20.74248571

0.252462269

7.053562528

0.098383557

18.10016279

0.199862519

6.017922639

0.076253377

15.77316611

0.158349192

5.130209033

0.059175664

13.72801582

0.125553356

4.37014191

0.04597702

11.93391795

0.099620631

3.720039325

0.035761983

10.36275508

0.079097199

3.164526016

0.02784568

8.989011753

Tabla 16: Intervalos de predicción Serie de datos Murcia

Intervalo Inferior 90%

Intervalo Superior 90%

Intervalo Inferior 99%

Intervalo Superior 99%

57.62616999

117.7183397

39.28087552

149.9629922

40.88352054

107.8627997

22.84380548

151.9014989

30.01475742

94.8410253

14.17071488

144.2460765

22.42913199

81.63069844

9.089240072

132.4748545

16.95138227

69.30881636

5.955766756

119.0936486

12.91484093

58.27961278

3.962192799

105.4522702

9.899620268

48.64711941

2.666400942

92.30629949

7.62504625

40.37140746

1.810787215

80.0671982

5.896280448

33.34480279

1.238908539

68.93631448

4.574533311

27.43188951

0.852933289

58.98444523

3.55908271

22.49106939

0.590334121

50.20187456

2.775802353

18.38604208

0.410467985

42.53082307

2.169542622

14.99155834

0.286558967

35.88676655

1.698914922

12.19586709

0.200772009

30.17243952

1.332637456

9.901263491

0.141118151

25.28692196

1.046927847

8.023577473

0.09947551

21.13138329

0.823615362

6.49110993

0.070305159

17.61254692

0.648757792

5.243322912

0.049807747

14.64460683

0.511618112

4.229466028

0.035363874

12.15010531

0.403901075

3.407244085

0.025159479

10.06012746

0.319179767

2.741582544

0.017933175

8.314060761

0.252462269

2.203517412

0.012804688

6.859092436

0.199862519

1.76921782

0.009157692

5.649563368

0.158349192

1.419138733

0.006559379

4.646258902

0.125553356

1.137295194

0.004704986

3.815689707

0.099620631

0.910646548

0.003379372

3.129396559

0.079097199

0.728577959

0.002430315

2.563299394

Los resultados obtenidos respecto a los intervalos de confianza muestran que no se mantiene la simetría respecto a la media debido a la transformación exponencial realizada. Además, los datos reales en las seis series consideradas están contenidos en los intervalos calculados, lo que permite concluir que la metodología de cálculo propuesta para las declaraciones de pérdidas catastróficas representa correctamente la realidad que se pretende modelar.

4. Conclusiones [arriba] 

El modelo continuo propuesto por Pérez-Fructuoso (2008, 2009) se basa en definir una tasa de declaración como un valor constante, de manera que la cuantía de siniestros pendiente de declarar decrece exponencialmente, y el modelo exponencial que describe su dinámica viene caracterizado a través de la tasa que denominamos, tasa instantánea de declaración de siniestros. Dicha tasa funciona como un tanto instantáneo de descuento y tiene un efecto negativo en la ecuación diferencial estocástica representativa del modelo propuesto. Esto supone que, en promedio, el importe de las declaraciones de siniestros pendiente de declarar muestre, en el tiempo, un decrecimiento exponencial asintótico al eje de abscisas y, consecuentemente, la cuantía declarada de siniestros crezca asintóticamente a la cuantía total de la catástrofe. Esta tasa instantánea de declaración de siniestros constante, parámetro fundamental del modelo, se estima utilizando una metodología de Mínimos Cuadrados con Restricciones. Los valores obtenidos son muy similares a los de la tasa de declaración de siniestros estimada por Máxima Verosimilitud y la prueba Ji-Cuadrado realizada no permite rechazar la hipótesis de distribución normal para la variable logaritmo neperiano de la cuantía de siniestros pendiente de declarar a partir de la cual calculamos el numerador de la ratio de siniestralidad objeto de estudio. A continuación, se lleva a cabo la estimación de la volatilidad del modelo aleatorio y el cálculo de los intervalos de confianza para los valores de la tasa de declaración de siniestros por el método de Mínimos Cuadrados con Restricciones. La estimación de la volatilidad incorporada por el proceso de Wiener en el modelo continuo aleatorio de evolución de las declaraciones de siniestros, ha sido realizada minimizando la suma de los errores al cuadrado y aplicando el resultado hallado para la estimación realizada sobre la tasa de declaración de siniestros por Mínimos Cuadrados con Restricciones. El contraste de los resultados obtenidos se realiza calculando los correspondientes intervalos de confianza, contraste del que se desprende que el modelo aleatorio describe de forma adecuada la realidad que pretendemos representar.

Referencias bibliográficas [arriba] 

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• Cummins, J. D. y Geman, H. (1995). Pricing Catastrophe Insurance Futures and Call Spreads: An Arbitrage Approach. Journal of Fixed Income. 4 (4), 46-57.

• Geman, H. y Yor, M. (1997). Stochastic time changes in catastrophe option pricing. Insurance: Mathematics and Economics. 21 (3), 185-193.

• Johnson, N.L., S. Kotz, y N. Balakrishnan, Continuous univariate distributions, vol. 1. John Wiley & Sons Inc.: New York, 1994.

• Pérez-Fructuoso, M. J. y A. Alegre (2003). Modelos de valoración de opciones sobre índices de catástrofes: análisis empírico y estimación de los parámetros del modelo alternativo,” Anales del Instituto de Actuarios Españoles. Tercera Época, 9, pp. 121-151.

• Pérez-Fructuoso, M. J. (2008). Modeling loss index trigger for Cat bonds: A continuous Approach. Variance. 2 (2), 253-265.

• Pérez-Fructuoso, M. J. (2009). Elaborating a catastrophic loss index for insurance-linked securities (ILS) a continuous model. Asian-Pacific Journal of Risk and Insurance. 3 (2), 34-45.

• Nowak, P. y Romaniuk, M. (2013). Princing and simulations of catastrophe Bonds. Insurance: Mathematics and Economics. 52 (1), 18-28.

• Van den Boos, A. (2007). Parameter estimation for scientists and engineers. John Wiley & Sons, Inc.: New Jersey.

 

 

Notas [arriba] 

* Artículo de Investigación
** Doctora Europea en Economía, Doctora en Ciencias Económicas y Empresariales, Licenciada en Ciencias Actuariales y Financieras. Licenciada en Ciencias Económicas y Empresariales Profesora Titular del Área de Economía Financiera y Contabilidad. Madrid Open University (UDIMA).  ORCID: 0000-0002-3252-1631 Contacto: mariajose.perez@udima.es

[1] Estos datos fueron elaborados de forma expresa por el Consorcio de Compensación de Seguros (dependiente del Ministerio de Economía) para realizar un estudio determinado. La forma en que están disponibles los datos, en porcentaje sobre la cuantía total declarada semanalmente, hace que no afecte el paso del tiempo en los mismos y permite evitar la brecha temporal para utilizarlos en diferentes estudios a lo largo del tiempo. La cuantía de la catástrofe analizada podría ser mayor en la actualidad, pero el porcentaje declarado en la primera semana seguiría siendo aproximadamente el mismo (fundamentalmente porque en la mayoría de los casos, la población, las infraestructuras públicas y las viviendas no se han visto prácticamente modificadas en las zonas afectadas, después de la reconstrucción).  
[2] La raíz cuadrada del Error Cuadrático Medio (RECM) se define la raíz cuadrada de las sumas al cuadrado de las diferencias entre los valores estimados y los valores reales, en este caso de la cuantía de siniestros pendiente de declarar: